Circunferencia

Redactado por

Heber Aranda

Introducción

Este tema suele ser uno de los más complejos, puesto que aquí aparecen muchos temas anteriores y problemas que requieren de mayor análisis e interpretación. Pero no hay nada de qué preocuparse, puesto que con la práctica todo es posible. ¡Ánimos!

¿Qué es la circunferencia?

La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que equidista de manera constante a un punto fijo, llamado centro; la distancia entre cada uno de los puntos que conforman el lugar geométrico y el punto fijo se denomina radio. De manera informal, es el contorno o borde de un círculo, sin embargo, no se recomienda aprender este concepto, pues son cosas diferentes.

Ecuación

Ecuación ordinaria o explícita

Si recordamos, la fórmula de distancia entre dos puntos es la siguiente: (x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}} , donde (x1;y1)(x_{1};y_{1}) y (x2;y2)(x_{2};y_{2}) son los puntos a analizar. En este caso, los puntos a analizar son el centro y un punto cualquiera. Con estos datos, deduciremos la ecuación de la circunferencia:

Llamando al centro C con coordenadas (h ; k)Llamando a un punto geneˊrico P con coordenadas (x ; y)Siendo r la distancia entre estos puntos:(x−h)2+(y−k)2=rElevando al cuadrado ambos miembros:(x−h)2+(y−k)2=r2\text{Llamando al centro C con coordenadas (h ; k)}\\\text{Llamando a un punto genérico P con coordenadas (x ; y)}\\\text{Siendo } r \text{ la distancia entre estos puntos:}\\\sqrt{(x-h)^{2}+(y-k)^2}=r\\\text{Elevando al cuadrado ambos miembros:}\\\boxed{(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}}

Si el centro se encuentra en el origen, es decir, coordenadas (0;0), la ecuación se reduce a la siguiente: x2+y2=r2x^{2}+y^{2}=r^{2}

De la ecuación de la circunferencia podemos deducir su radio, donde hay que hacer raíz cuadrada; también podemos obtener su centro, basta solo con cambiar de signo a sus coordenadas.

Ecuación general

La ecuación ordinaria de la circunferencia puede descomponerse y así transformar de ecuación ordinaria a ecuación general, donde se encuentra igualado a 0 y su expresión descompuesta:

(x−h)2+(y−k)2=r2Realizando cuadrado de un binomio ypasando el segundo miembro al primero:x2−2hx+h2+y2−2ky+k2−r2=0Reagrupando→x2+y2−2hx−2ky+h2+y2−r2=0Realizando los siguientes cambios:B=−2hC=−2kD=h2+y2−r2Reemplazando→x2+y2+Bx+Cy+D=0Comparando ecuaciones, podemos obtener los siguientes datos:C(−B2;−C2)r2=(B2)2+(C2)2−D=h2+k2−D(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\\\text{Realizando cuadrado de un binomio y}\\\text{pasando el segundo miembro al primero:}\\x^{2}-2hx+h^{2}+y^{2}-2ky+k^{2}-r^{2}=0\\Reagrupando\to x^{2}+y^{2}-2hx-2ky+h^{2}+y^{2}-r^{2}=0\\\text{Realizando los siguientes cambios:}\\B=-2h\hspace{2cm}C=-2k\hspace{2cm}D=h^{2}+y^{2}-r^{2}\\Reemplazando\to \boxed{x^{2} +y^{2}+Bx+Cy+D=0}\\\text{Comparando ecuaciones, podemos obtener los siguientes datos:}\\\\C\Big(-\frac{B}{2};-\frac{C}{2}\Big)\hspace{2cm}r^{2}=\Big(\frac{B}{2}\Big)^{2}+\Big(\frac{C}{2}\Big)^{2}-D=h^{2}+k^{2}-D

Cabe destacar que x2x^{2} y y2y^{2} pueden tener coeficiente distinto de 1, sin embargo, estos deben ser el mismo, ya que así podemos dividir la ecuación por este coeficiente y obtener la ecuación general. Es decir:

Ax2+Ay2+Bx+Cy+D=0Ax2+Ay2+Bx+Cy+DA=0Ax2+y2+BAx+CAy+DA=0Donde BA,CA y DA se convierten en nuevas constantesAx^{2}+Ay^{2}+Bx+Cy+D=0\\\frac{Ax^{2}+Ay^{2}+Bx+Cy+D}{A}=\frac{0}{A}\\\\\boxed{x^{2}+y^{2}+\frac{B}{A}x+\frac{C}{A}y+\frac{D}{A}=0}\\\\\text{Donde }\frac{B}{A},\frac{C}{A} \text{ y }\frac{D}{A}\text{ se convierten en nuevas constantes}
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